Espace vectoriel des fonctions de carré sommable:
f: I -> |R
produit scalaire (f,g) = ∫_I f(x)g(x) dx
-> norme L₂: ||f|| < ∞
base infinie dénombrable de fonctions orthogonales

II. Séries de Fourier

f(x) = a₀+∑_n=1^∞[a_n cos(2nπx/L) + b_n sin(2nπx/L)]
avec a₀ = (1/L) ∫_I f(x) dx,
a_n = (2/L) ∫_I f(x) cos(2nπx/L) dx,
b_n = (2/L) ∫_I f(x) sin(2nπx/L) dx

base B = {1, sin(2πx/L), cos(2πx/L), sin(4πx/L), cos(4πx/L), ...}

Exemple: Corde vibrante

II.5 Séries de Fourier complexes:

base B = {e^i2nπx/L}_{n ∈ Z}
f(x) = ∑_n=-∞^∞c_n e^i2nπx/L
avec c_n = (e_n,f)/||e_n||² = (1/L) ∫_I e^-i2nπx/L f(x) dx

II.6 Egalité de Parseval : L^-1||f||² = |a₀|² + (1/2) ∑_n=1^∞ (|a_n|²+|b_n|²)=∑_n=-∞^∞ |c_n|²

II.7 Fonction génératrice / caractéristique - Exemple : Phonons dans un cristal unidimensionnel

Applications : Circuit RLC

IV.3 Un peu de "maths" :

Biblio : Laurent Schwartz - Théorie des distributions

• fonctionnelle - T : F -> C, c'est-à-dire, fonction f -> scalaire T[f]
  (par comparaison : fonction - scalaire x -> scalaire f(x))
• distribution = fonctionnelle linéaire

  δ de Dirac :
  δ : F -> C
       f -> δ[f] = f(0)       [en notation physique : ∫_-∞^∞ f(x) δ(x) dx = f(0)]

  Sa dérivée :
  δ' : F -> C
        f -> δ'[f] = - δ[f'] = -f'(0)       [en notation physique : ∫_-∞^∞ f(x) δ'(x) dx = - ∫_-∞^∞ f'(x) δ(x) dx = -f'(0)]

  Généralisation :
  δ_x0 : F -> C
          f -> δ_x0[f] = f(x₀)       [en notation physique : ∫_-∞^∞ f(x) δ(x-x₀) dx = ∫_-∞^∞ f(x+x₀) δ(x) dx = f(x₀)]
  δ^(a) : F -> C
          f -> δ^(a)[f] = f(0)/|a|       [en notation physique : ∫_-∞^∞ f(x) δ(ax) dx = (1/|a|) ∫_-∞^∞ f(x/a) δ(x) dx = f(0)/|a|]

δ(g(x)) = ∑_i (1/|g'(x_i)|) δ(x-x_i) pour g(x) fonction avec racines simples g(x_i) = 0, g'(x_i) ≠ 0

V.2 Corrélation

Définition : C_fg(x) = ∫_-∞^∞ f*(s) g*(x+s) ds
h(x)=C_fg(x) est la corrélation de f et g

Auto-corrélation : G(x) = ∫_-∞^∞ f*(s) f(x+s) ds       TF[G(x)] = G^~(q) = f*^~(q) f^~(q) = |f^~(q)|²

V.3 Applications (exemples) :

convolution du signal f(x) avec la fonction du l'appareil M(x)
-> quantité mesurée f_M(x) = ∫_-∞^∞ f(s) M(x-s) ds

particule dans un fluide soumis à
des frottements visqueux -γ v et
une force stochastique ξ(t) due aux collisions qu' "elle est indifféremment positive et négative, et sa grandeur est telle qu'elle maintient l'agitation de la particule que, sans elle, la résistance visqueuse finirait par arrêter"

équation de Newton : m dv/dt = -γ v + ξ(t)
où ξ(t) est caractérisé par <ξ(t)> = 0 et < ξ(t) ξ(t+τ) > = A δ(τ)

TF de l'équation de Newton : imωv^~ = -γ v^~ + ξ^~, donc v^~ = ξ^~ / (imω+γ)
on trouve (v^~)^*(ω)v^~(ω) = (ξ^~)^*(ω)ξ^~(ω) / ((-imω+γ)(-imω+γ)), c'est-à-dire TF[ < v(t) v(t+τ) > ] = (ξ^~)*(ω)ξ^~(ω) / ((-imω+γ)(-imω+γ))
et par conséquent < v(t) v(t+τ) > = TF^-1[ (ξ^~)^*(ω)ξ^~(ω) / ((-imω+γ)(-imω+γ)) ] = (A/2γm) e^-(γ/m)|τ|

VI. Fonctions de Green

On considère l'ED   a (d²/dt²)x + b (d/dt)x + c x = f(t).     (1)
TF -> x^~(ω) = f^~(ω) / (-aω² + ibω + c).
On compare avec l'ED   a (d²/dt²)x₀ + b (d/dt)x₀ + c x₀ = δ(t).     (2)
TF -> x₀^~(ω) = 1 / (-aω² + ibω + c).
Donc x^~(ω) = f^~(ω)x₀^~(ω) ou x(t) = (x_0*f)(t) = ∫ ds x₀(s) f(t-s).
C'est-à-dire, si on connait la solution de l'ED (2), on peut en déduire la solution de l'ED (1).

Voir aussi équation de Poisson (électrostatique) : ∇φ = -eρ/ε₀
potentiel d'une charge ponctuelle à r=0 : φ₀(r) = (e/4πε₀) |r|^-1
potentiel d'une distribution de charge eρ(r) : φ(r) = ∫ (dr') (e/4πε₀) |r-r'|^-1ρ(r') = ∫ (dr') φ₀(r-r')ρ(r')

VII. Analyse complexe

VII.1 Motivation : évaluation d'intégrales, variables complexes en physique

VII.2 Fonctions d'une variable complexe

RAPPEL: z = x + iy = r e^iθ où i = √(-1)
Une variable complexe correspond à une paire de variables réeles. -> représentation dans le plan complexe ~ |R²

f(x) -> f(z) = f(x,y) = u(x,y) + iv(x,y)
u = Re[f] (partie réelle) et v=Im[f] (partie imaginaire)

Exemples: z², cos(z), √z, ln z

lim_{δz -> 0}[δf/δz] = lim_{δx -> 0}[(δu+iδv)/δx] = ∂_xu + i ∂_xv

lim_{δz -> 0}[δf/δz] = lim_{δy -> 0}[(δu+iδv)/(iδy)] = - i∂_yu + ∂_xv

Donc, la dérivée f' existe seulement si   ∂_xu = ∂_yv   et   ∂_yu = - ∂_xv.
Conditions de Cauchy-Riemann

Réécriture Cauchy-Riemann : ∂_xf = -i∂_yf

Définition : Soient Ω un sous-ensemble ouvert de l'ensemble |C des nombres complexes et f une fonction f : Ω -> |C.

f est analytique ou holomorphe en un point z₀ ∈ Ω, si f'(z₀) existe.
f est analytique/holomorphe sur Ω, si f est analytique/holomorphe en tout point z₀ ∈ Ω.

Exemples : z² (analytique/holomorphe en |C), cos(z) (analytique/holomorphe en |C)
Par contre, des fonctions qui dépendent de z* (complex conjugué : z* = x - iy) ne sont pas analytiques/holomorphes.

VII.4 Intégration d'une fonction d'une variable complexe

Intégrale curviligne/Intégrale de contour :
Intégration le long d'un contour C dans le plan complexe   ∫_C f(z) dz = ∫_C (u(x,y) + iv(x,y))(dx + idy)

fonction f(z) = z² intégrée le long d'un cercle autour de z₀ = 0 de rayon R
z = re^iθ avec r = R = const     ->     z² = R²e^2iθ   et   dz = iRe^iθdθ
->     ∫_C f(z) dz = iR³ ∫₀^2π e^3iθdθ = 0

fonction g(z) = z^-1 intégrée le long d'un cercle autour de z₀ = 0 de rayon R
z = re^iθ avec r = R = const     ->     z^-1 = R^-1e^-iθ   et   dz = iRe^iθdθ
->     ∫_C g(z) dz = i ∫₀^2π dθ = 2πi

VII.5 Théorème de Cauchy :

Si une fonction f(z) est analytique/holomorphe et ses dérivées partielles sont continues dans une région R du plan complexe simplement connexe,   ∫_C f(z) dz = 0   pour tous les contours C fermés dans R.

[simplement connexe = "il n'y a pas de trous"]

Démonstration : Réécrire f(z) = u(x,y) + iv(x,y) et dz = dx + idy.
Appliquer le théorème de Stokes / la formule de Green-Riemann : ∫_∂A(V_xdx+V_ydy) = ∫_A(∂_xV_y - ∂_xV_y) dx dy.
Utiliser les conditions de Cauchy-Riemann.

VII.9 Calcul de résidus

On définit I_n = ∫_C dz (z-z₀)ⁿ On remarque que I_n = 2π i pour n = -1 et I_n = 0 sinon.

Donc, si z₀ est une singularité isolée de f et C est un contour qui enferme z₀ dans le sens mathématique positif, on obtient ∫_C dz f(z) = 2π i a_-1.
a_-1 = Res(f, z₀) s'appelle le résidu de f en z₀.

Si f possède plusieures singularités isolées, on trouve ∫_C dz f(z) = 2π i (somme des résidus enfermés en C). (Théorème des résidus)

Calcul pratique de résidus : Res(f, z₀) = (1/(m-1)!) lim_{z -> z0}[d^m-1/dz^m-1{(z - z₀)^m f(z)}] pour un pôle de l'ordre m

Si, pour Im[z] ≥ 0, f(z) est analytique à part des singularités isolées en z = z_i (i = 0, 1, ...) et |f(z)| décroit au moins comme 1/|z|² dans la limite |z| -> ∞ :
∫_-∞^∞ f(x) dx = 2π i ∑_{Im[zi] > 0}Res(f, z_i)

Si, pour Im[z] ≤ 0, f(z) est analytique à part des singularités isolées en z = z_i (i = 0, 1, ...) et |f(z)| décroit au moins comme 1/|z|² dans la limite |z| -> ∞ :
∫_-∞^∞ f(x) dx = -2π i ∑_{Im[zi] <0}Res(f, z_i)

Si a > 0 et, pour Im[z] ≥ 0, f(z) est analytique à part des singularités isolées et lim_{|z| -> ∞}f(z)= 0 :
∫_-∞^∞ f(x) e^iax dx = 2π i ∑_{Im[zi] > 0}Res(f e^iaz, z_i)

Si a < 0 et, pour Im[z] ≤ 0, f(z) est analytique à part des singularités isolées et lim_{|z| -> ∞}f(z)= 0 :
∫_-∞^∞ f(x) e^iax dx = -2π i ∑_{Im[zi] < 0}Res(f e^iaz, z_i)

Lemme de Jordan
Démonstration : voir, par exemple, Arfken & Weber, page 406.

Exemple (est-ce que l'analyse complexe peut nous aider avec les TFs ?) :

On considère la fonction f réelle où f(x)=e^-ax avec a > 0 pour x ≥ 0 et f(x) = 0 sinon. La TF est donné par f^~(k)=1/(a+ik).
On cherche la TF inverse : f(x) = (1/2π) ∫_-∞^∞dk e^ikx/(a+ik).
Stratégie : Si on continue la fonction f^~(k) dans le plan complexe, on peut évaluer l'intégrale sur un contour fermée.

1. Choix du contour (Il faut distinguer x > 0 et x < 0.)
2. Identification des singularités (Il y a un pôle simple avec Im[z₀] > 0.)
3. Calcul des résidus

VIII.1 Perturbations régulières

Exemples ...

VIII.1.1 Racines d'un polynôme

x² + εx - 1 = 0
On cherche une solution sous la forme x = x₀ + εx₁ + ε²x₂ + ...
ordre ε⁰ : x₀²-1 = 0, donc x₀=1 ou x₀=-1
ordre ε¹ : 2x₀x₁+x₀ = 0, donc x₁=-1/2
ordre ε² : x₁²+2x₀x₂+x₁ = 0, donc x₂=x₁(x₁+1)/(2x₀), c'est-à-dire x₂=1/8 ou x₂=-1/8
-> 2 racines : x = 1 - ε/2 + ε²/8 + O(ε³) et x = -1 - ε/2 - ε²/8 + O(ε³)

x³ -2x² +3x +1/97 = 0
-> x³ -2x² +3x + ε = 0
On cherche une solution sous la forme x = x₀ + εx₁ + ε²x₂ + ...

prochains ordres ?

"Chapeau mexicain" :

dx/dt = -x(x²+y²) + bx
dy/dt = -y(x²+y²) + by

1. solutions stationnaires : x₀ = y₀ = 0 et, pour b > 0, x₀²+y₀² = b

2. perturbation autour des solutions stationnaires : x(t) = x₀+ ε x₁(t) et y(t) = y₀+ ε y₁(t)
dx₁/dt = -x₁(x₀²+y₀²-b) - 2x₀(x₀x₁+y₀y₁)
dy₁/dt = -y₁(x₀²+y₀²-b) - 2y₀(x₀x₁+y₀y₁)

Pour x₀ = y₀ = 0 : dx₁/dt = bx₁ et dy₁/dt = by₁, donc x₁ = X₁ e^bt et y₁ = Y₁ e^bt
C'est-à-dire, la solution stationnaire x₀ = y₀ = 0 est stable pour b < 0 (le système retourne vers la solution stationnaire pour t -> ∞) et instable pour b > 0 (le système s'éloigne de plus en plus de la solution stationnaire pour t -> ∞).

Pour x₀²+y₀² = b, les équations pour x₁ et y₁ sont couplés :
dx₁/dt = - 2x₀(x₀x₁+y₀y₁)
dy₁/dt = - 2y₀(x₀x₁+y₀y₁)
On trouve une équation matricielle pour r₁ = (x₁, y₁)^T :
dr₁/dt = M r₁.
Les valeurs propres sont λ₁ = 0 (correspondant au vecteur propre u₁ parallel à r₀) et λ₂ = -2b (correspondant au vecteur propre u₂ perpendiculaire à r₀). Comme λ_1/2 <= 0, la solution stationnaire x₀²+y₀² = b est stable.

Equations différentielles : Oscillateur de Duffing

(d²/dt²)x + ω₀² x + ε (ω₀²/L₀²) x³ = 0

Physique : particule dans un potentiel V(x) = (1/2) m ω₀² x² + (1/4) ε (ω₀²/L₀²) x⁴
-> mouvement borné par V(x_min) = V(x_max) = E₀

Calcul des perturbations ?

Voir suite ci-dessous.

Le commutateur de deux opérateurs linéaires L₁ et L₂ est l'opérateur L₁L₂ - L₂L₁ = [L₁,L₂]

Exemples :

IX.2 Bases et representation matricielle

base de l'espace vectoriel B = {e₁, e₂, e₃, ... , e_N}
L[v] = L[∑_j v_j e_j] = ∑_j v_j L[e_j] et L[e_j] = ∑_i λ_ij e_i
donc L est caractérisé par une matrice N x N : {λ_ij}_i,j=1...N

Exemple : opérateur différentiel D
base de Fourier {1, cos(2nπx/L), sin(2nπx/L)}
D[e₁] = 0
D[e_2n] = D[cos(2nπx/L)] = - (2nπ/L) sin(2nπx/L) = - (2nπ/L) e_2n+1
D[e_2n+1] = D[sin(2nπx/L)] = (2nπ/L) cos(2nπx/L) = (2nπ/L) e_2n
donc D_{2n 2n+1} = -2nπ/L, D_{2n+1 2n} = 2nπ/L et D_kl = 0 sinon
alternative : base de Fourier complexe {e^i2nπx/L}
D[e^i2nπx/L] = i2nπ/L e^i2nπx/L
donc D_kl = δ_kl i2kπ/L (D est diagonal)

IX.3 Vecteurs et valeurs propres

En général : L[v] = u avec u ≠ v

Cas spécial : L[v] = λ v
v vecteur propre
λ valeur propre

Exemple : R(θ) rotation par un angle θ en R²
Si θ = nπ, tous les vecteurs sont des vecteurs propres avec λ = (-1)ⁿ.
Pour tous autres angles, il n'y a pas de vecteurs propres.

IX.4 Opérateurs hermitiens

L'opérateur adjoint H⁺ est défini par (u,Hv) = (H⁺u,v).

Si H⁺ = H, c.a.d. (u,Hv) = (Hv,u), on dit que H est hermitien.

Equation de Schroedinger : Hψ = i∂_tψ

Base propre : Hψ_n = E_nψ_n

Solution générale : ψ(x,t) = ∑_n a_n(t)ψ_n(x)
On trouve Hψ = ∑_n E_na_n(t)ψ_n(x) et i∂_tψ = ∑_n i∂_ta_n(t)ψ_n(x).
Donc E_na_n = i∂_ta_n ou a_n(t) = a_n(0) e^-iE_nt

La FIN ! ... N'hésitez pas à me contacter, si vous avez des questions.