M2 Matière Quantique : Corrélations et Transport

Le progrès du cours sera affiché ci-dessous. Vous trouverez aussi les feuilles de TD. N'hésitez pas à me contacter, si vous avez des questions, commentaires, suggestions, ... !

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Email: julia.meyer_at_univ-grenoble-alpes.fr

PLAN du COURS (Partie « Corrélations »)

Bibliographie :

Le cours ne suit pas un texte en particulier. Les livres suivants contiennent des chapitres sur les fonctions de Green et / ou les intégrales de chemin qui peuvent vous être utiles. A vous de voir lesquels vous conviennent le plus. Des références plus spécifiques pour certaines parties du cours seront données.

  • Mahan - Many-Particle Physics
  • Coleman - Introduction to Many-Body Physics
  • Negele & Orland - Quantum Many-Particle Systems
  • Altland & Simon - Condensed Matter Field Theory
  • Abrikosov, Gorkov & Dzyalonshinski - Methods of Quantum Field Thoery in Statistical Physics
  • Fetter & Walecka - Quantum Thoery of Many-Particle Systems
  • Bruus & Flensberg - Many-Body Quantum Theory in Condensed Matter Physics
  • Shankar - Quantum Field Theory and Condensed Matter
  • Doniach & Sondheimer - Green's Fonctions for Solid State Physicists

    Annales :

    Examen final 2022/2023 : énoncé ; corrigé (noté sur 46 points).
    Examen final 2021/2022 : énoncé ; corrigé (noté sur 32 points).
    Examen final 2020/2021 : énoncé ; corrigé (noté sur 50 points).
    Examen final 2019/2020 : énoncé ; corrigé (noté sur 44 points).

    Edt prévisionnel : (CHANGEMENTS POSSIBLES !)
    DateSalle No séanceCréneau
    (GreEN-Er)
    3 oct 1 Lundi 8h30-10h
    10 oct 2 Lundi 8h30-10h
    17 oct PAS de SEANCE Lundi 8h30-10h
    24 oct 3 Lundi 8h30-10h
    7 nov 4 Lundi 8h30-10h
    14 nov 5 Lundi 8h30-10h
    21 nov 6 Lundi 8h30-10h
    28 nov PAS de SEANCE Lundi 8h30-10h
    29 nov 7 Mardi 14h-15h30
    5 dec 8 Lundi 8h30-10h
    6 dec 9 Mardi 14h-15h30
    12 dec 10 Lundi 8h30-10h
    13 dec 11 Mardi 14h-15h30
    3 jan 2022 12 Mardi 14h-15h30
    9 jan 13 Lundi 8h30-10h
    10 jan 14 Mardi 14h-15h30
    16 jan 15 Lundi 8h30-10h
    17 jan 16 Mardi 14h-15h30
    23 jan PAS de SEANCE Lundi 8h30-10h
    24 jan 17 Mardi 14h-15h30

    Cours :

    Ci-dessous je donnerai quelques mots clés après chaque cours :
    Cours # Date Contenu du cours
    CM 1Lundi 3 octobre

    I. Introduction

    I.1 La physique à N corps
    "More is different." - P.W. Anderson
    (voir, par exemple, Coleman)

    I.2 Gaz et liquide de Fermi

    I.2.1 Classique vs quantique

  • distance entre particules vs longueur d'onde thermique de de Broglie
  • énergie de Fermi vs température

    I.2.2 Le gaz de Fermi (RAPPEL)

  • état fondamental : mer de Fermi
  • excitations à 1 particule : électron (|k| > kF), trou (|k| < kF)
  • dispersion εk = ℏ2k2/(2m) - EF et durée de vie infinie des excitations

    I.3.3 Effet d'interactions

    Hint = (1/2) ∑k,k',q;σ,σ' V(q) c†k+qσ c†k'-qσ' ck'σ' ckσ

  • temps de vie des excitations à 1 particule -> règle d'or de Fermi :
    1/τkσ ∝ εk2 (pour des interactions de courte portée, V(0) < ∞) - détails de calcul
    • CM 2Lundi 10 octobre

    I.3.3 Effet d'interactions (SUITE)

  • portée des interactions :
    V(r) = 1/(4πε0r) e-λr
    V(q) = 1/(ε0(q2 + λ2))
    Coulomb : λ = 0 vs interaction effective avec écrantage : λ ≠ 0

  • quasi-particules :
    excitations de basse énergie dans un système avec interactions,
    caractérisés par des nombres quantiques et avec un temps de vie long
    -> Théorie du liquide de Fermi de Landau (1950s)
    (voir, par exemple, Coleman, ch. 7)

  • concept adiabatique :
    correspondence 1 à 1 des états du système avec et sans interactions
    en absence de transition de phase (brisure spontanée de symétrie)

    I.2 Réponse linéaire & fonctions de réponse
    (voir, par exemple, Altland & Simons, ch. 7)

    II. Fonctions de Green

    II.1 Contexte général

    introduit par George Green en 1828 dans le contexte de l'électromagnétisme

    G(r, t; r', t')
    = solution d'une équation à dérivées partielles linéaire : LG = δ

    exemple : équation de la chaleur, oscillateur harmonique amorti forcé

    propriétés:
    - invariance par translation temporelle ? -> G(r, r'; t-t')
    - invariance par translation spatiale ? -> G(r-r'; t, t')
    - causalité

    transformée de Fourier : G~(k, ω) -> lien entre la position des pôles et la causalité !

    • CM 3Lundi 24 octobre

    II.2 Fonction de Green libre à T=0

    solution formelle de l'équation de Schrödinger :
    |ψ(t)> = U(t,t')] |ψ(t')>
    avec U(t,t') = exp[ -i/ℏ H(t-t')] (opérateur d'évolution)

    ψ(r, t) = ∫ ddr' <r| exp[ -i/ℏ H(t-t')] |r'>ψ(r', t')

    -> fonction de Green retardée : GR(r, t; r', t') = -i/ℏ θ(t-t') <r| exp[ -i/ℏ H(t-t')] |r'>
    (θ(x) = 1 si x >= 0, θ(x) = 0 sinon : fonction de Heaviside)

    fonction de Green avancée : GA(r, t; r', t') = i/ℏ θ(t'-t) <r| exp[ -i/ℏ H(t-t')] |r'>

    probabilité : P(r,r';t) = | <r| exp[ -i/ℏ Ht] |r'> |2 = <r| exp[ -i/ℏ Ht] |r'><r'| exp[ i/ℏ Ht] |r> = GR(r,r'; t) GA(r',r; -t)

    PAR LA SUITE : ℏ = 1 (c.a.d. ω = E, k = p)

    utilisation des états propre de l'Hamiltonian : GR/A(r, r'; t) = -+i θ(+-t') ∑n ψn(r)ψ*n(r') e-i En t

    transformée de Fourier : GR/A(r, r'; ω) = ∑n ψn(r)ψ*n(r') (ω - En +- iη)-1

    points importants :

  • pôles aux énergies propres
  • lien position des pôles et causalité
  • résidus -> informations sur les fonctions d'onde

    densité d'états locale : νl (E,r) = -+ π Im GR/A(r, r; E)

    densité d'états globale : ν (E) = ∫ ddr νl (E,r)

    II.3 Fonctions de Green à T=0

  • physique à N particules
  • formalisme de 2nde quantification

    II.3.1 Représentation d'interaction

    Hamiltonien : H = H0 + V
    avec H0 simple (particule libre) et V perturbation (interactions)

  • représentation de Schrödinger
  • représentation de Heisenberg
  • représentation d'interaction -> S(t,t') avec ∂tS(t,t') = -i VI(t) S(t,t')
    • CM 4Lundi 7 novembre

    Résumé CM 3

    II.3.1 Représentation d'interaction (SUITE)

    Calcul de S(t,t') :
  • ∂tS(t,t') = -i VI(t) S(t,t')
  • ATTENTION : [VI(t),VI(t')] ≠ 0 pour t ≠ t', donc S(t,t') ≠ exp[-i ∫ t't dt" VI(t")] !
  • division de l'intervalle [t',t] en n segments de longeur Δt = (t'-t)/n : S(t,t') = S(t,t-Δt) ... S(t'+Δt,t')
  • ...
  • S(t,t') = T exp[-i ∫ t't dt" VI(t")] où T est l'opérateur chronologique
  • développement en puissances de V (séries de Taylor) : S(t,t') = ∑n=0∞ ((-i)n/n!) ∫t't dt''1...dt''n T [V(t''1)...V(t''n)]

    II.3.2 Les différentes fonctions de Green

  • fonction de Green ordonnée en temps Gαβ (t-t') = - i < φ | T ψα(t) ψ†β(t') | φ >
  • fonction de Green retardée GRαβ (t-t') = - i θ(t-t') < φ | [ ψα(t), ψ†β(t')]-+ | φ >
  • fonction de Green avancée GAαβ (t-t') = i θ(t'-t) < φ | [ ψα(t), ψ†β(t')]-+ | φ >
    - : bosons / + : fermions

    fermions sans interactions :
    - fonction de Green ordonnée en temps :

      G0(k,t) = - i exp[-iξkt] ( θ(t) θ(|k|-kF) - θ(-t) θ(kF-|k|) )
      G0(k,ω) = (ω-ξk+iηk)-1 avec ηk=η sign(|k|-kF)
    - fonction de Green retardée / avancée :
      GR/A0(k,t) = -+ i θ(+-t) exp[-iξkt]
      GR/A0(k,ω) = (ω-ξk+-iη)-1

    • CM 5Lundi 14 novembre

    II.3.2 Les différentes fonctions de Green (SUITE)

    Fonction spectrale :
    A0(k,ω) = -+ (1/π) Im[GR/A0(k,ω)] = δ(ω-ξk) (sans interactions)

    cas général : décomposition spectrale

    Propriétés :

  • Liens entre différentes fonctions de Green :
    Re[G(k,ω)] = Re[GR/A(k,ω)]
    Im[G(k,ω)] = +- sign(ω-μ )Im[GR/A(k,ω)]
  • Liens entre parties réelles et imaginaires (Relation de Kramers-Kronig)
    • TD 1Lundi 21 novembre
    PAS DE SEANCELundi 28 novembre
    CM 6Mardi 29 novembre

    Résumé CM 5

    II.3.3 Fonctions de Green à n particules et thérème de Wick

    définition :
    Gα1...αnβ1...βn (t1, ..., tn; t'1, ..., t'n) = (- i)n < T ψα1(t1) ... ψαn(tn) ψ†βn(t'n) ... ψ†β1(t'1) >
    = fonction de Green ordonnée en temps à n particules

    Théorème de Wick :

    Comment évaluer une function de Green à n particules dans un système SANS INTERACTIONS ?

    < T ψα1(t1) ψ†α2(t2) ... ψα2k-1(t2k-1) ψ†α2k(t2k) >sans interactions = ik ∑P (+-1)P ∏l=1k G0α2l-1αP2l(t2l-1,tP2l)
    où P sont toutes les permutations possibles des k opérateurs ψ†α2l
    donc : le calcul d'une fonction de Green à k particules se réduit au calcul de fonctions de Greens à 1 particule

    II.3.4 Réponse linéaire

    système couplé à une perturbation : H0 -> H = H0 + f(t)A(t)
    avec f(t) - champ externe, A(t) - variable du système (voir CM 2)

    observable ?
    réponse du système jusqu'au 1er ordre dans la perturbation :
    < B(t) > = < B(t) >0 - i ∫-∞t dt' f(t') < [ B(t), A(t') ] >0
    (représentation d'interaction)

    CM 7Lundi 5 dévembre

    Résumé CM 6

    II.3.4 Réponse linéaire (SUITE)

    fonction de réponse = susceptibilité dynamique :
    < B(t) > = < B(t) >0 - i ∫-∞∞ dt' χAB(t-t') f(t')
    avec
    χABR(t-t') = - i θ(t-t') < [ B(t), A(t') ] >0
    ~ fonction de Green retardée à 2 particules, si A et B de la forme X = ∑α,β Vαβψ†αψβ

    lien entre fonctions de Green : χABR (ω)= χABT (ω+iδ)

    II.3.5 Interactions et développement de Dyson

    objectif : calcul perturbatif des fonctions de Green d'un système en interaction

  • représentation de Heisenberg -> représentation d'interaction
  • astuce : branchement + débranchement adiabatique des interactions

    relation de Gell-Mann - Low :
    Gαβ (t-t') = - i < -∞(I) | T S(+∞,-∞) ψα(I)(t) ψ†β(I)(t') | -∞(I) > / < -∞(I) | T S(+∞,-∞)| -∞(I) >
    notation simplifiée : Gαβ (t-t') = - i < T ψα(t) ψ†β(t') S(∞,-∞) > / < T S(∞,-∞) >

    Tout l'effet des interactions est contenu dans S(∞,-∞) !

    opérateur d'évolution : S(∞,-∞) = ∑n=0∞ ((-i)n/n!) ∫-∞∞ dτ1...dτn T [V(τ1)...V(τn)]

    pour une interaction à 2 particules : V(τ) = (1/2) ∑α,β,δ,γ Vαβδγ ψ†α(τ) ψ†β(τ) ψδ(τ) ψγ(τ)

    II.3.6 Diagrammes de Feynman

    = visualisation du développement perturbatif de la fonction de Green

    • CM 8Mardi 6 dévembre

    II.3.6 Diagrammes de Feynman (SUITE)

  • diagrammes déconnectés vs diagrammes connectés : Gαβ (t-t') = - i < T ψα(t) ψ†β(t') S(∞,-∞) >c ("linked-cluster theorem")
  • diagrammes 1-particule réductibles vs diagrammes 1-particule irréductibles :
      équation de Dyson et self-énergie

    équation de Dyson : Gαβ (t-t') = G0αβ (t-t') + ∑δγ ∫ dt1 dt2 G0αδ (t-t1) Σδγ (t1-t2) Gγβ (t2-t')

    -> forme simple du propagateur : G(k,ω) = G0(k,ω) + G0(k,ω) Σ(k,ω) G(k,ω) ou G-1(k,ω) = (G0)-1(k,ω) - Σ(k,ω)

    Résumé diagrammes de Feynman et équation de Dyson

    Exemples : approximation de Hartree-Fock

    • TD 2Lundi 12 décembre
    CM 9Mardi 13 décembre

    II.3.6 Diagrammes de Feynman (SUITE)

    Approximation de Hartree-Fock

    Approche similaire pour les fonctions de Green à n particules (pour calculer des observables en réponse linéaire, par exemple)

    II.3.7 Forme générale de la fonction de Green et Théorie du liquide de Fermi

    Concept de quasiparticules
    TD 3Mardi 3 janvier 2023
    CM 10Lundi 9 janvier

    II.4 Fonctions de Green à T≠0

    T = 0 : état fondamental

    T ≠ 0 : < ... > = Tr[ e-βH... ] / Tr[ e-βH ]

    -> évolution en temps imaginaire : < ... > = Tr[ U(-iβ) ... ] / Tr[ U(-iβ) ]

    rotation de Wick : t -> τ = it

    représentations Schrödinger - Heisenberg - interaction
    à noter : ψα†(τ) ≠ (ψα(τ))†; U-1(τ) ≠ U†(τ)

    fonction de Green : Gαβ(τ-τ') = - < Tτ ψα(τ) ψ†β(τ') > = - Tr [ e-β(H-Ω) Tτ ψα(τ) ψ†β(τ') ] avec 0 < τ,τ' < β

    propriétés : G(p, δτ+β) = +- G(p, δτ) pour δτ < 0

    -> séries de Fourier :

    G(p, iωn) = ∫ 0∞ dδτ eiωnδτ G(p, δτ)
    G(p, δτ) = (1/β) ∑n e-iωnδτ G(p, iωn)
    avec fréquences de Matsubara bosoniques (ωn = 2nπ / β) et fermioniques (ωn = (2n+1)π / β)

    Fonction de Green sans interactions (fermions) : G0(p,iωn) = 1/(iωn - ξp)

    Effet d'interactions : développement très similaire au cas T=0 ...
    G(p,τ) = < Tτ U(β) ap (τ) ap†(0) >0 / < U(β) >0
    -> G-1(p,iωn) = G0-1(p,iωn) - Σ(p,iωn)
    avec des règles de Feynman très similaires au cas T=0 pour le calcul de la self-énergie
    [Voir, par exemple, Bruus & Flensberg.]

    CM 11Mardi 10 janvier

    II.4 Fonctions de Green à T≠0 (SUITE)

    Résumé CM 10

    II.4.1 Réponse linéaire

    Lien entre fonctions de Green en temps imaginaire et fonctions de réponse : χABR/A(ω) = χAB(iωn -> ω +- iη) (continuation analytique)

    II.4.2 Formule de Kubo pour la conductivité électrique

    Formule de Kubo (voir aussi TD 4) = réponse linéaire d'un système à une perturbation dépendant du temps
    - Exemple : conductivité électrique.
    Voir, par exemple, Coleman, ch. 10.2, ou Altland & Simons, ch. 7.4.

    CM 12Lundi 16 janvier

    III. Intégrale de chemin

    Biblio : Altland & Simons, ch. 3

    physique à une particule !

    III.1 Construction de l'intégrale de chemin

    propagateur : θ(tf - ti) < qf | exp[ -i/ℏ H(tf - ti)] | qi >

  • division de l'intervalle [ti, tf] en N parties -> exp[ -i/ℏ H(tf - ti)] = ( exp[ -i/ℏ H Δt ] )N avec Δt = (tf - ti)/N
  • exp[ -i/ℏ H Δt ] = exp[ -i/ℏ T Δt ] exp[ -i/ℏ V Δt ] dans la limite Δt -> 0 (N -> ∞) où T énergie cinénetique, V énergie potentielle
  • états propres de T : T |pn> = pn2/(2m) |pn>
  • états propres de V : V |qn> = V(qn) |qn>
  • insertion de 1= ∫ dqn dpn |qn> < qn|pn> < pn| à chaque temps intermédiaire
  • limite continue : qn, pn -> q(t), p(t) [possible parce que les contributions des trajectoires non-lisses se moyennent à zéro ("random phase cancellation")]

    résultat final :
    θ(tf - ti) < qf | exp[ -i/ℏ H(tf - ti)] | qi > = ∫q(ti)=qi, q(tf)=qf Dq Dp exp[ -i/ℏ ∫titf (p (dq/dt) - H(q,p)) ] (formulation Hamiltonienne)
    = ∫q(ti)=qi, q(tf)=qf Dq exp[ -i/ℏ ∫titf L(q,dq/dt) ] (formulation Lagrangienne)

  • le poids de chaque chemin est déterminé par son action classique

    III.2 Quelques propriétés importantes

    III.2.1 Limite (semi-)classique

    limite classique : ℏ -> 0

  • une seule trajectoire contribue à l'intégrale : celle qui est associée au point stationnaire de l'action, δS[qcl] = 0
    [tandis que les contributions des autres trajectoires se moyennent à zéro à cause de leur phases oscillantes -> interférence destructive]
  • la trajectoire classique obéit donc à l'équation d'Euler-Lagrange, ∂L/∂q - d(∂ L/∂(dq/dt)/dt = 0 (principe de "moindre action")

    corrections à la solution classique : S[qcl] -> S[qcl+δq]

    III.2.2 Lien avec la physique statistique

  • rotation de Wick (t -> τ = it) : < qf | exp[ -1/ℏ Hτ] | qi > = ∫q(0)=qi, q(τ)=qf Dq exp[ -1/ℏ ∫ dτ' (m(dq/dτ')2/2 + V(q))]
  • β = τ/ℏ vs fonction de partition : Z = ∫ dq < q | exp[ -β H] | q >
  • τ -> x = vτ : problème quantique en d dimensions -> problème classique en d+1 dimensions
    • CM 13Mardi 17 janvier

    III. Intégrale de chemin (SUITE)

    Résumé construction de l'intégrale de chemin

    III.3 Applications des intègrales de chemin (exemples)

    Voir, par exemple Altland & Simons, ch. 3.

    III.3.1 Particule libre

  • intègrales Gaussiennes ...
    -> θ(t) < qf | exp[ -i/ℏ Ht] | qi > = (m / 2πiℏt)1/2 exp[ i (m / 2πℏ) (qf - qi)2 ]

    III.3.2 Oscillateur harmonique

  • approximation semiclassique = solution exacte
  • intègrales Gaussiennes en utilisant les états propres ...
    -> θ(t) < 0 | exp[ -i/ℏ Ht] | 0 > = (mω / 2πiℏ sin(ωt))1/2

    III.3.3 Double puits et effet tunnel

  • trajectoires classiques en temps imaginaire (potentiel inversé)
    -> instantons (pas abordé en cours)

    III.3.4 Effet tunnel dans un environnement dissipatif : Modèle de Caldeira-Leggett (pas abordé en cours)

    • PAS DE SEANCELundi 23 janvier
    TD 4Mardi 24 janvier

    TDs :

    Les dates des TDs seront annoncés au fur et à mesure selon la progression du cours.
    TD # Date Sujet Fichiers
    1Lundi 21 novembreCourant tunnel entre 2 métaux (Partie 1) ; Fonction de Green des phonons sans interactions TD 1 Corrigé TD 1
    L'exo 2 ne sera pas discuté en séance sauf si vous avez des questions spécifiques.
    2Lundi 12 décembreCourant tunnel entre 2 métaux (Partie 2) TD 2 Corrigé TD 2
    3Mardi 3 janvier 2023 Electrons en interaction : écrantage et temps de vie TD 3 Corrigé TD 3
    3Mardi 24 janvier 2023 Sommes de Matsubara ; Formule de Kubo TD 4 Corrigé TD 4