I. Introduction

I.1 La physique à N corps

"More is different." - P.W. Anderson
(voir, par exemple, Coleman)

I.2 Classique vs quantique

gaz de fermions -> principe d'exclusion de Pauli !

Résumé CM 1

(voir, par exemple, Altland & Simons, ch. 7)

II. Liquide de Fermi (Phénoménologie)

II.1 Temps de vie des "quasi-particules"

interaction : H_int = (1/2) ∑_{k,k',q;σ,σ'} V(q) c^†_k+qσ c^†_k'-qσ' c_k'σ' c_kσ

II.2 Concept adiabatique

correspondence 1 à 1 des états du système avec et sans interactions
en absence de transition de phase (brisure spontanée de symétrie)

-> Théorie du liquide de Fermi de Landau (1950s)
(voir, par exemple, Coleman, ch. 7)

-> quasi-particules

III. Transport dans des métaux : équation de Boltzmann

III.1 Modèle de Drude

III.2 Approche semiclassique

classique : espace de phase -> position et quantité de mouvement nécessaires pour décrire un état

quantique : quantité de mouvement suffisant
-> principe d'incertitude ΔpΔx >= ℏ/2

semiclassique :
des variations sur une échelle beaucoup plus grande que la longueur d'onde de de Broglie peuvent être décrites classiquement
tandis que des processus sur des échelles de l'ordre de la longueur d'onde de de Broglie néessitent un traitement quantique

équation de Boltzmann pour la fonction de distribution f(r, p; t)

III.2 Approche semiclassique (SUITE)

df/dt = I_coll[{f}]

intégrale de collision :
I_coll = Σ_p' [W_p'->p f(p') (1 - f{p)) - W_p->p' f(p) (1 - f(p'))]

équilibre : f(r, p; t) -> f₀(r, E_p) = 1/(1 + exp[(E_{p - μ(r))/(kBT(r))])}

à noter : I_coll[{f₀}] = 0
-> on cherche f(r, p; t) = f₀(r, E_p) + δf(r, p; t)

III.3 Conductivité électrique : Collisions avec des impuretés

perturbation = champ électrique : F = -eE

on cherche la densité de courant j(r,t) = - (e/m) Σ_p p f(r, p; t)

impuretés -> potentiel V_imp = Σ_i u(r - r_i)
cas le plus simple : u(r) = u₀ δ(r)

règle d'or de Fermi : I_coll = - δf(r, p; t)/τ

Résumé CM 4

III.3 Conductivité électrique : Collisions avec des impuretés (SUITE)

impuretés -> potentiel V_imp = Σ_i u(r - r_i)
cas le plus simple : u(r) = u₀ δ(r)

règle d'or de Fermi : I_coll = - δf(r, p; t)/τ

... conductivité de Drude σ = e²nτ/m = e²Dν -> diffusion !

impuretés -> potentiel V_imp = Σ_i u(r - r_i)
cas général
-> développement en harmoniques sphériques : δf(p) = Σ_l=0^∞ Σ_m=-l^l f_lmY_lm(p)

résultat : τ remplacé par τ_transport > τ
(les processus de diffusion à petits angles n'affectent pas la conductivité)

Résumé CM 5

III.3 Conductivité électrique : Collisions avec des impuretés (SUITE)

Drude = diffusion = marche aléatoire : on somme des probabilités ...

Effets quantiques au delà de Drude ?

TD 1 (SUITE) :

III.4 Conductivité électrique : Collisions avec des phonons (SUITE)

III.4 Conductivité électrique : Collisions avec des phonons (SUITE)

Notes électron-phonon

dépendance de la conductivité en température (effet des impuretés et des phonons)

IV. Fonctions de Green

IV.1 Contexte général

introduit par George Green en 1828 dans le contexte de l'électromagnétisme

G(r, t; r', t')
= solution d'une équation à dérivées partielles linéaire : LG = δ

exemple : équation de la chaleur, oscillateur harmonique amorti forcé

propriétés:
- invariance par translation temporelle ? -> G(r, r'; t-t')
- invariance par translation spatiale ? -> G(r-r'; t, t')
- causalité

transformée de Fourier : G^~(k, ω) -> lien entre la position des pôles et la causalité !

IV.2 Fonction de Green en mécanique quantique

solution formelle de l'équation de Schrödinger :
|ψ(t)> = U(t,t')] |ψ(t')>
avec U(t,t') = exp[ -i/ℏ H(t-t')] (opérateur d'évolution)

ψ(r, t) = ∫ d^dr' <r| exp[ -i/ℏ H(t-t')] |r'>ψ(r', t')

-> fonction de Green retardée : G_R(r, t; r', t') = -i/ℏ θ(t-t') <r| exp[ -i/ℏ H(t-t')] |r'>
(θ(x) = 1 si x >= 0, θ(x) = 0 sinon : fonction de Heaviside)

fonction de Green avancée : G_A(r, t; r', t') = i/ℏ θ(t'-t) <r| exp[ -i/ℏ H(t-t')] |r'>

probabilité : P(r,r';t) = | <r| exp[ -i/ℏ Ht] |r'> |² = <r| exp[ -i/ℏ Ht] |r'><r'| exp[ i/ℏ Ht] |r> = G_R(r,r'; t) G_A(r',r; -t)

PAR LA SUITE : ℏ = 1 (c.a.d. ω = E, k = p)

point important :

IV.3 Les différentes fonctions de Green à T=0 (SUITE)

Résumé CM 10

IV.4 Propriétés générales des fonctions de Green à T=0 (SUITE)

Propriétés

points importants :

V.2 Fonctions de réponse

système couplé à une perturbation : H₀ -> H = H₀ + f(t)A(t)
avec f(t) - champ externe, A(t) - variable du système (voir CM 2)

observable ?
réponse du système jusqu'au 1er ordre dans la perturbation :
< B(t) > = < B(t) >₀ - i ∫_-∞^t dt' f(t') < [ B(t), A(t') ] >₀
(représentation d'interaction)

donc < B(t) > = < B(t) >₀ +∫_-∞^∞ dt' χ_AB^R(t-t') f(t')
avec
χ_AB^R(t-t') = - i θ(t-t') < [ B(t), A(t') ] >₀
~ fonction de Green retardée à 2 particules, si A et B de la forme X = ∑_α,β V_αβψ^†_αψ_β

lien entre fonctions de Green : χ_AB^R (ω)= χ_AB^T (ω+iδ)

VI. Fonctions de Green avec interactions

VI.1 Liquide de Fermi et forme des fonctions de Green

sans interactions : G(k,ω) = (ω-ξ_k+-iη)^-1

VI.2 Développement de Dyson et diagrammes de Feynmann (SUITE)

relation de Gell-Mann - Low :
G_αβ (t-t') = - i < -∞_(I) | T S(+∞,-∞) ψ_α(I)(t) ψ^†_β(I)(t') | -∞_(I) > / < -∞_(I) | T S(+∞,-∞)| -∞_(I) >
notation simplifiée : G_αβ (t-t') = - i < T ψ_α(t) ψ^†_β(t') S(∞,-∞) > / < T S(∞,-∞) >

Tout l'effet des interactions est contenu dans S(∞,-∞) !

opérateur d'évolution : S(∞,-∞) = ∑_n=0^∞ ((-i)ⁿ/n!) ∫_-∞^∞ dτ₁...dτ_n T [V(τ₁)...V(τ_n)]

pour une interaction à 2 particules : V(τ) = (1/2) ∑_α,β,δ,γ V_αβδγ ψ^†_α(τ) ψ^†_β(τ) ψ_δ(τ) ψ_γ(τ)

Diagrammes de Feynman = visualisation du développement perturbatif de la fonction de Green

TD 2 (SUITE)

VI.2 Développement de Dyson et diagrammes de Feynmann (SUITE)

Diagrammes de Feynman

"linked-cluster theorem" : G_αβ (t-t') = - i < T ψ_α(t) ψ^†_β(t') S(∞,-∞) >_c

VI.2 Développement de Dyson et diagrammes de Feynmann (SUITE)

équation de Dyson : G_αβ (t-t') = G⁰_αβ (t-t') + ∑_δγ ∫ dt₁ dt₂ G⁰_αδ (t-t₁) Σ_δγ (t₁-t₂) G_γβ (t₂-t')

-> forme simple du propagateur : G(k,ω) = G⁰(k,ω) + G⁰(k,ω) Σ(k,ω) G(k,ω) ou G^-1(k,ω) = (G⁰)^-1(k,ω) - Σ(k,ω)

Exemples :

Approximation de Hartree-Fock

VI.3 Applications

Résumé CM 16

VI.3 Applications (SUITE)

VI.4 Effet d'interactions dans des systèmes à basse dimension (SUITE)

Transparents

excitations particule-trou :

TD 3 (SUITE)

VII.1 Quantification de la conductance dans une dimension (Suite)

courant : I = env = e ν(E_F) (μ_L - μ_R) v_F = e²ν(E_F)v_F V = GV

conductance quantifiée : G = e²ν(E_F)v_F = e²/π = 2 e²/h

conditions ?

VII.2 Formalisme de Landauer-Büttiker

Transparents

système couplé à des réservoirs par des connecteurs idéaux :

VII.2 Formalisme de Landauer-Büttiker (SUITE)

Transparents

combinaison de 2 barrières :
résonances de Fabry-Perot T = T₁T₂ / (1 + R₁R₂ - 2 |r₁r₂| cosχ)

vs résultat "classique" (incohérent) : T_cl = T₁T₂ / (1 - R₁R₂) = < T >_χ

effets d'interérence robustes ? combinaison de 3 barrières : < R >_χ > R_cl
dû à l'interérence constructive de trajectoires reliées par symétrie par renversement du temps

,... voir discussion sur la localisation faible, ch. III.3

VII.3 Opérateur courant et conductance

quantification des états de diffusion

Biblio : voir, par exemple, Blanter & Büttiker, Phys. Rep. 336, 1 (2000) ou Nazarov & Blanter, Quantum Tansport, ch. 1.3.4

VII.3 Opérateur courant et conductance (SUITE)

occupation d'équilibre dans les réservoirs -> courant moyen :
< I_L > = 2 G₀ ∫ dE T(E) [f_L(E) - f_R(E)]

VII.4 Généralisation au cas multicanal

réservoir α avec N_α canaux : matrice de diffusion de taille ∑_αN_α x ∑_αN_α

Exemples :

Transparents

VII.4 Généralisation au cas multicanal (SUITE)

Exemples :

Transparents

VII.5 Boîtes quantiques : Blocage de Coulomb et effet Kondo (SUITE)

Effet Kondo

Biblio :

Coleman – Ch. 16
L. Kouwenhoven & L. Glazman, Revival of the Kondo effect, Phys. World 14, 33 (2001)