I. Introduction

I.1 La physique à N corps
"More is different." - P.W. Anderson
(voir, par exemple, Coleman)

I.2 Réponse linéaire & fonctions de réponse
(voir, par exemple, Altland & Simons, ch. 7)

II. Fonctions de Green

II.1 Contexte général

G(r, t; r', t')

exemple : équation de la chaleur

propriétés:
- invariance par translation temporelle ?
- invariance par translation temporelle ?
- causalité

transformée de Fourier : G^~(k, ω)

II.2 Fonction de Green libre à T=0

solution formelle de l'équation de Schrödinger :
|ψ(t)> = U(t,t')] |ψ(t')>
avec U(t,t') = exp[ -i/ℏ H(t-t')] (opérateur d'évolution)

ψ(r, t) = ∫ d^dr' <r| exp[ -i/ℏ H(t-t')] |r'>ψ(r', t')

-> fonction de Green (retardée) : G_R(r, t; r', t') ∝ θ(t-t') <r| exp[ -i/ℏ H(t-t')] |r'>
(θ(x) = 1 si x >= 0, θ(x) = 0 sinon : fonction de Heaviside)

II.2 Fonction de Green libre à T=0 (SUITE)

fonction de Green retardée : G_R(r, t; r', t') = -i/ℏ θ(t-t') <r| exp[ -i/ℏ H(t-t')] |r'>

fonction de Green avancée : G_A(r, t; r', t') = i/ℏ θ(t'-t) <r| exp[ -i/ℏ H(t-t')] |r'>

probabilité : P(r,r';t) = | <r| exp[ -i/ℏ Ht] |r'> |² = <r| exp[ -i/ℏ Ht] |r'><r'| exp[ i/ℏ Ht] |r> = G_R(r,r'; t) G_A(r',r; -t)

PAR LA SUITE : ℏ = 1 (c.a.d. ω = E, k = p)

utilisation des états propre de l'Hamiltonian : G_R/A(r, r'; t) = -+i θ(+-t') ∑_n ψ_n(r)ψ^*_n(r') e^{-i E_n t}

transformée de Fourier : G_R/A(r, r'; ω) = ∑_n ψ_n(r)ψ^*_n(r') (ω - E_n +- iη)^-1

points importants :

Résumé CM 2 : Transparents

II.2.1 Systèmes désordonnés (SUITE)

développement en série : (ω - H +- iη)^-1 = (ω - H₀ - V +- iη)^-1 = (ω - H₀ +- iη)^-1 ∑_n=0^∞[V (ω - H₀ +- iη)^-1]ⁿ

fonction de Green moyenné sur le désordre : < G >(p,p',ω)

Résumé CM 3 : Transparents

II.2.1 Systèmes désordonnés (SUITE)

équation de Dyson : < G >^-1 = G₀^-1 - Σ

self-énergie Σ : approximation de Born (auto-cohérente)

representation graphique ...

points importants :

II.3.3 Les différentes fonctions de Green

II.3.3 Les différentes fonctions de Green (SUITE)

Propriétés

II.3.4 Développement de Dyson et Théorème de Wick

relation de Gell-Mann - Low :
G_αβ (t-t') = - i < φ_∞^(I) | T ψ_α(I)(t) ψ^†_β(I)(t') S(∞,-∞)| φ_∞^(I) > / < φ_∞^(I) | T S(∞,-∞)| φ_∞^(I) >
notation simplifiée : G_αβ (t-t') = - i < T ψ_α(t) ψ^†_β(t') S(∞,-∞) > / < T S(∞,-∞) >

Tout l'effet des interactions est contenu dans S(∞,-∞) !

opérateur d'évolution S(∞,-∞) ?

TD 1 (voir ci-dessous)

II.3.4 Développement de Dyson et Théorème de Wick (SUITE)

opérateur d'évolution : S(∞,-∞) = ∑_n=0^∞ ((-i)ⁿ/n!) ∫_{-^∞ dτ1...dτn T [V(τ1)...V(τn)]}

pour une interaction à 2 particules : V(τ) = ∑_α,β,δ,γ V_αβδγ ψ^†_α(τ) ψ^†_β(τ) ψ_δ(τ) ψ_γ(τ)

Théorème de Wick :
< T ψ_α1(t₁) ψ^†_α2(t₂) ... ψ_α2k-1(t_2k-1) ψ^†_α2k(t_2k) >_{sans interactions} = i^k ∑_P (+-1)^P ∏_l=1^k G⁰_α2l-1αP2l(t_2l-1,t_P2l)
où P sont toutes les permutations possibles des k opérateurs ψ^†_α2l
donc : le calcul d'une fonction de Green à k particules se réduit au calcul de fonctions de Greens à 1 particule

Notes de la séance

II.3.5 Diagrammes de Feynman

= visualisation du développement perturbarif de la fonction de Green

II.3.5 Diagrammes de Feynman (SUITE)

-> forme simple du propagateur : G(k,ω) = G⁰(k,ω) + G⁰(k,ω) Σ(k,ω) G(k,ω) ou G^-1(k,ω) = (G⁰)^-1(k,ω) - Σ(k,ω)

Règles de Feynman:
1. Chaque ligne fermionique est associée à une fonction de Green G⁰(k_i,ω_i).
2. Chaque ligne ondulée est associée à un vertex d'interaction iV(q_i). Chaque vertex conserve la quantité de mouvement et l'énergie.
3. Chaque boucle fermionique est associée à un facteur -1.
4. Chaque énergie interne ω_i ≠ ω nécessite un facteur de régularisation e^iω_iη avec η -> 0.
5. Il faut intégrer sur toutes les quantités de mouvement et l'énergies internes, ∫ dω_i/(2π) ∫ d^dk_i/(2π)^d.

Exemples : approximation de Hartree-Fock (voir TD 2)

Forme générale de la fonction de Green et Théorie du liquide de Fermi: Concept de quasiparticules

Notes de la séance

Forme générale de la fonction de Green et Théorie du liquide de Fermi: Concept de quasiparticules (SUITE)

II.3.6 Fonctions de Green à plusieurs particules et fonctions de réponse

fonction de Green à n particules:
G_{α1...αnβ1...βn} (t₁, ..., t_n; t'₁, ..., t'_n) = (- i)ⁿ < T ψ_α1(t₁) ... ψ_αn(t_n) ψ^†_βn(t'_n) ... ψ^†_β1(t'₁) >

fonction de réponse :
- système couplé à une perturbation : H -> H + f(t)A(t) avec f(t) - champ externe, A(t) - variable du système
- réponse du système : < A(t) > -> < A(t) > = < A(t) >₀ - i ∫_-∞^t dt' f(t') < [ A(t), A(t') ] >₀
χ(t-t') = - i < [ A(t), A(t') ] >₀ θ(t-t') - susceptibilité dynamique

Notes de la séance

TD 2 (voir ci-dessous)

Notes de la séance

II.3.6 Fonctions de Green à plusieurs particules et fonctions de réponse (SUITE)

susceptibilité dynamique : χ_BA(t-t') = - i < [ B(t), A(t') ] >₀ θ(t-t')

fonction de réponse = fonction de Green à 2 particules retardée

II.3.7 Fonctions de Green des phonons - voir TD 1

II.4 Fonctions de Green à T≠0 → Cours supplémentaires

III. Intégrale de chemin

Biblio : Altland & Simons, ch. 3

physique à une particule !

III.1 Construction de l'intégrale de chemin

propagateur : θ(t_f - t_i) < q_f | exp[ -i/ℏ H(t_f - t_i)] | q_i >

III.1 Construction de l'intégrale de chemin (SUITE)

résultat final :
θ(t_f - t_i) < q_f | exp[ -i/ℏ H(t_f - t_i)] | q_i > = ∫_{q(ti)=qi, q(tf)=qf} Dq exp[ -i/ℏ ∫_ti^t_f L(q,dq/dt) ] (formulation Lagrangienne)

III.3.1 Particule libre (SUITE)

II.4 Fonctions de Green à T≠0

T = 0 : état fondamental

T ≠ 0 : < ... > = Tr[ e^-βH... ] / Tr[ e^-βH ]

-> évolution en temps imaginaire : < ... > = Tr[ U(-iβ) ... ] / Tr[ U(-iβ) ]

rotation de Wick : t -> τ = it

représentations Schrödinger - Heisenberg - interaction
à noter : ψ_α^†(τ) ≠ (ψ_α(τ))^†; U^-1(τ) ≠ U^†(τ)

fonction de Green : G_αβ(τ-τ') = - < T_τ ψ_α(τ) ψ^†_β(τ') > = - Tr [ e^-β(H-Ω) T_τ ψ_α(τ) ψ^†_β(τ') ] avec 0 < τ,τ' < β

propriétés : G(p, δτ+β) = +- G(p, δτ) pour δτ < 0

-> séries de Fourier :

G(p, iω_n) = ∫ ₀^∞ dδτ e^iω_nδτ G(p, δτ)
G(p, δτ) = (1/β) ∑_n e^-iω_nδτ G(p, iω_n)
avec fréquences de Matsubara bosoniques (ω_n = 2nπ / β) et fermioniques (ω_n = (2n+1)π / β)

Notes de la séance

II.4 Fonctions de Green à T≠0 (SUITE)

Fonction de Green sans interactions (fermions) : G₀(p,iω_n) = 1/(iω_n - ξ_p)

Effet d'interactions : développement très similaire au cas T=0 ...
G(p,τ) = < T_τ U(β) a_p (τ) a_p^†(0) >₀ / < U(β) >₀
-> G^-1(p,iω_n) = G₀^-1(p,iω_n) - Σ(p,iω_n)
avec des règles de Feynman très similaires au cas T=0 pour le calcul de la self-énergie
[Voir, par exemple, Bruus & Flensberg.]

Lien avec les fonctions de réponse : χ_AB^R/A(ω) = χ_AB(iω_n -> ω +- iη) (continuation analytique)

[SUITE : Formule de Kubo (voir aussi TD 3) = réponse linéaire d'un système à une perturbation dépendant du temps
- Exemple : conductivité électrique. Voir, par exemple, Coleman, ch. 10.2, ou Altland & Simons, ch. 7.4.]

Notes de la séance